优化算法入门系列文章目录（更新中）：
1. 模拟退火算法
2. 遗传算法
一. 爬山算法 ( Hill Climbing )
介绍模拟退火前，先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。
爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图 1 所示：假设 C 点为当前解，爬山算法搜索到 A 点这个局部最优解就会停止搜索，因为在 A 点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。
图 1
二. 模拟退火 (SA,Simulated Annealing) 思想
爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法 以一定的概率 来接受一个比当前解要差的解，因此 有可能 会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图 1 为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解 A 后，会 以一定的概率 接受到 E 的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达 D 点，于是就跳出了局部最大值 A。
模拟退火算法描述：
若 J( Y(i+1) )>= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动
若 J( Y(i+1) )< J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差)，则 以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。
根据热力学的原理，在温度为 T 时，出现能量差为 dE 的降温的概率为 P(dE)，表示为：
P(dE) = exp( dE/(kT) )
其中 k 是一个常数，exp 表示自然指数，且 dE<0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为 dE 的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于 dE 总是小于 0（否则就不叫退火了），因此 dE/kT < 0 ，所以 P(dE) 的函数取值范围是 (0,1) 。
随着温度 T 的降低，P(dE) 会逐渐降低。
我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率 P(dE) 来接受这样的移动。
关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：
爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。
模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。
下面给出模拟退火的伪代码表示。
三. 模拟退火算法伪代码
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代码
/*
* J(y)：在状态 y 时的评价函数值
* Y(i)：表示当前状态
* Y(i+1)：表示新的状态
* r： 用于控制降温的快慢
* T： 系统的温度，系统初始应该要处于一个高温的状态
* T_min ：温度的下限，若温度 T 达到 T_min，则停止搜索
*/
while( T > T_min )
{
dE = J( Y(i+1) ) – J( Y(i) ) ;
if ( dE >=0 ) //表达移动后得到更优解，则总是接受移动
Y(i+1) = Y(i) ; //接受从 Y(i) 到 Y(i+1) 的移动
else
{
// 函数 exp( dE/T ) 的取值范围是 (0,1) ，dE/T 越大，则 exp( dE/T ) 也
if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )
Y(i+1) = Y(i) ; //接受从 Y(i) 到 Y(i+1) 的移动
}
T = r * T ; //降温退火 ，0<r
/*
* 若 r 过大，则搜索到全局最优解的可能会较高，但搜索的过程也就较长。若 r 过小，则搜索的过程会很快，但最终可能会达到一个局部最优值
*/
i ++ ;
}
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四. 使用模拟退火算法解决旅行商问题
旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) ：有 N 个城市，要求从其中某个问题出发，唯一遍历所有城市，再回到出发的城市，求最短的路线。
旅行商问题属于所谓的 NP 完全问题，精确的解决 TSP 只能通过穷举所有的路径组合，其时间复杂度是 O(N!) 。
使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP 的一条近似最优路径。（使用遗传算法也是可以的，我将在下一篇文章中介绍）模拟退火解决 TSP 的思路：
1. 产生一条新的遍历路径 P(i+1)，计算路径 P(i+1) 的长度 L( P(i+1) )
2. 若 L(P(i+1)) < L(P(i))，则接受 P(i+1) 为新的路径，否则以模拟退火的那个概率接受 P(i+1) ，然后降温
3. 重复步骤 1，2 直到满足退出条件
产生新的遍历路径的方法有很多，下面列举其中 3 种：
1. 随机选择 2 个节点，交换路径中的这 2 个节点的顺序。
2. 随机选择 2 个节点，将路径中这 2 个节点间的节点顺序逆转。
3. 随机选择 3 个节点 m，n，k，然后将节点 m 与 n 间的节点移位到节点 k 后面。
五. 算法评价
模拟退火算法是一种随机算法，并不一定能找到全局的最优解，可以比较快的找到问题的近似最优解。 如果参数设置得当，模拟退火算法搜索效率比穷举法要高。
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